신뢰성 함수

Reliability Functions

1.2 신뢰성의 척도

• 신뢰성의 척도 중 대표적인 것은 신뢰도 함수임.
신뢰도를 사용시간 t의함수로 나타낸 것으로, 값은 시점 t 에 있어서의 잔존(또는 생존)확률이 됨.

• 초기의 총수를 N, 시점 t 에 있어서의 잔존수를 nt()라하면 시점 t 에서의 잔존확률는 다음과 같음. $$$ R(t)=\frac{n(t)}{N} $$$

• 그리고 시점 t 까지의 고장난 것의 누적고장확률(불신뢰도)는 다음과 같음. $$$ R(t)=1-\frac{n(t)}{N} $$$

• 그러므로 t = ∞에서 전수가 모두 고장난다고 하면 F (t = ∞)= 1이 되므로
$$$ R(t) F(t)=1 $$$

[그림 6.1]에서 볼 수 있는 바와 같이 $$ F(t)는 R(t)$$를 뒤집어 놓은 모양을 하게 됨.
그림에서 규정된 시간 t 에서의 신뢰도 R(t)는 95%, 불신뢰도 F(t)는 5%가 됨

[그림 6.1] 신뢰도함수, 고장밀도함수와 고장률

• 단위시간당 어떤 비율로 고장이 발생하고 있는가를 알려면 F(t)를미분하여 조사하면 된다. $$$ f(t)=\frac{d F(t)}{dt} $$$

여기서 $$f(t)$$ 는 고장확률밀도함수 이므로,
누적고장확률 $$ F(t)$$와 신뢰도함수 $$R(t)$$를 고장확률밀도함수 $$f(t)$$는 아래와 같습니다. \begin{align*} &F(t)=\int_{0}^{t}f(t)dt \\& R(t)=1-\int_{0}^{t}f(t)dt=1-F(t) \end{align*}

• 또한 식 (6.4)에서 $$F(t)$$ 대신에 $$1-R(t)$$ 를 대입하여 미분하면 $$f(t)$$는 다음과 같습니다. $$$f(t)= -\frac{d \left\{ 1-R(t)\right\}}{dt}= 0- \frac{dR(t)}{dt}= -\frac{dR(t)}{dt}$$$

• 어떤시점 $$ t와 t+ Δt $$시간 사이에 발생한 고장률을 “구간고장률”이라고 부르며,
이것을 Δt 로 나누어 단위시간당 고장률로 환산한 것을 “단위시간당 고장률”이라 부름.
따라서 단위시간당 고장률 λ(t)를 식으로 나타내면 다음과 같음. $$$ \textbf{단위시간당 고장률} =\frac{R(t)-R(t+\Delta t)}{\Delta t \cdot R(t)} $$$ 여기서, 단위시간은 주행거리(km)또는 사용횟수가 될 수도 있음.

"순간고장률은 Δt 가 0으로 수렴할 때의 고장률의 극한값임".
그러므로 "순간고장률을 고장률 함수"라고도 부르며, 이것을 λ(t)로 놓으면 다음과 같이 됨. \begin{align*} & \lambda(t) =\lim_{\Delta t \rightarrow 0}\frac{R(t)-R(t+\Delta t)}{\Delta t \cdot R(t)} = \frac{1}{R(t)}\cdot( -\frac{d}{dt}R(t))로부터 \\& \lambda(t)= \frac{f(t)}{R(t)} \end{align*}

여기서 λ(t)는 시간당 얼마씩 고장이 나고 있는가를 나타내는 장치의 고장률로서,
그의 단위는 시간의 역수가 됨.
그러나 고장률의 단위는 경우에 따라 시간뿐만 아니라 주행거리나 사용횟수가 사용되는 경우도 있음.

• 그런데 일반적으로 수명데이터로부터 $$f(t), λ(t)$$ 를구할경우에는 위의 식 대신에
다음 식에 의하여 $$ f(t)와 λ(t)$$ 를 계산한다. \begin{align*} & f(t)=\frac{\textbf{시간} t와 (t+\Delta t)간의 \textbf{고장개수}} {\textbf{샘플수}} \cdot \frac{1}{\Delta t} = \frac{n(t)-n(t+\Delta t)}{N \cdot \Delta t} \\& \lambda(t)=\frac{\textbf{시간} t와 (t+\Delta t)간의 \textbf{고장개수}} {t \textbf{시점의 생존개수}} \cdot \frac{1}{\Delta t} = \frac{n(t)-n(t+\Delta t)}{n(t)\cdot\Delta t} \end{align*}

예제 6.1
46대의 차량에 대하여 주행거리(km)당 drive shaft의 고장개수 (잡음이 규정된 값보다큰경우고장으로봄)를
조사한결과다음의데이터를얻었다고할때, 동일 로트로 만들어진 어떤 제품에 대하여 일정수의 제품을
랜덤하게 샘플링 한 후 이 샘플에 대해 고장이 날 때까지 조사하여 그 결과로부터 신뢰성 척도인
$$ f(t),F(t),R(t)$$ 및 $$ λ(t)$$ 를 구하라.

해설
먼저 t =20,000km에서의$$ f(t),F(t),R(t)$$ 및 $$ λ(t)$$ 는 다음과 같이 계산됨. \begin{align*} & R(t=20,000)=\frac{n(t)}{N}=\frac{(46-19)}{46}=\frac{27}{46}=0.587 \\& F(t=20,000)=1-\frac{n(t)}{N}=1-\frac{(46-19)}{46}=1-0.587=0.413 \\& f(t=20,000)=\frac{n(t)-n(t+\Delta t)}{N\cdot\Delta t}=\frac{46-(46-19)}{46\cdot(20,000)}=0.207\times 10^{-4} \\& \lambda(t=20,000)= \frac{n(t)-n(t+\Delta t)}{n(t)\cdot\Delta t}=\frac{46-(46-19)}{46\cdot(20,000)}=0.207\times 10^{-4} \end{align*}

위와 같은 방법으로 지정된 각 시점에서의 $$ f(t),F(t),R(t)$$ 및 λ(t)를 계산하여 종합하면 아래와 같음

[표 1] 이 차량 드라이브 샤프트는 고장확률밀도함수 $$f(t)$$와 신뢰도함수 $$R(t)$$가 지수분포임을 알수 있다.

신뢰도함수 $$R(t)$$             고장확률밀도함수 $$f(t)$$

1.2.2 확률지를 이용한 신뢰성 척도의 계산

• 확률지는 어떤 특정한 수명분포를 따르는 확률변수의 값(t)과 이 변수의 누적분포함수
$$F(t)$$의 값의 타점이 도표상에서 직선이 되도록 가로축과 세로축을 도안한 도표로서,
수명분포에 따라 지수확률지, 정규확률지, 와이블확률지, 대수정규확률지 등이 있음.

• 지수확률지를 이용한 신뢰성 척도의 계산방법은 주어진 고장시간이 지수분포를 따르면
고장시간 t_i와 그 누적분포함수 F(t_i)가 직선관계를 보이는 성질을 이용한 것임.

(1)메디안 랭크(Median Rank)법 • 만일 "샘플수가 적은 경우에는 Benard가 고안한 메디안 랭크(median rank)법"인 다음 공식들을 사용하여
신뢰성의 척도를 계산하는 것이 합리적임.
이는 "지수확률지를 이용한 신뢰성 척도의 계산"방법이다. \begin{align*} &F(t_{i})=\frac{i-0.3}{n+0.4} \\& R(t_{i})=1-F(t_{i})=\frac{n-i+0.7}{n+0.4} \\& \lambda(t_{i})=\frac{f(t_{i})}{R(t_{i})}=\frac{1}{(n-i+0.7)(t_{i+1}-t_{i})} \\& f(t)=\frac{1}{(n+0.4)(t_{i+1}-t_{i})} \end{align*} 여기에서, n 은 샘플수, i 는 고장순번, ti 는 i 번째 고장발생시간
그리고 t_i+1은 i+1 번째, 즉 다음 번 고장발생 시간이다.

(2)평균순위(Average Rank)법 • 정규확률지를 이용한 신뢰성척도의 계산 방법이다.
구체적 방법은 본 장의 신뢰성 시험과 추정에서의 정규확률지에 의한 방법을 참고하세요. \begin{align*} &F(t_{i})=\frac{i}{n+1} \\& R(t_{i})=1-F(t_{i})=1-\frac{1}{n+1}=\frac{n+1-i}{n+1} \\& f(t_{i})=\frac{1}{(n+1)(t_{i+1}-t_{i})} \\& \lambda(t_{i})=\frac{f(t_{i})}{R(t_{i})}=\frac{1}{(n+1-i)(t_{i+1}-t_{i})} \end{align*}

(3)선험적(Empirical)방법 • 지수확률지를 이용한 경험적 방법에 따른 신뢰성척도의 계산 방법입니다 \begin{align*} &F(t_{i})=\frac{i}{n} \\& R(t_{i})=1-\frac{1}{n+1}=\frac{n-i}{n} \\& ft_{i})=\frac{1}{(n)(t_{i+1}-t_{i})} \end{align*}

(4)Midpoint Rank법 •지수확률지를 이용한 Midpoint(50%)방법에 의한 신뢰성척도의 계산 방법이다. $$$ F(t_{i})=\frac{i-0.5}{n}$$$

1.3 신뢰도함수 $$ R(t)$$

$$$ R(t)=e^{-\lambda t} = exp(-\lambda t)$$$ 이 식에서 t 는 제품의 사용시간을 나타내고, λ 는 일정한 고장률(평균고장률)을 나타냄.

예제 6.2
평균고장률 λ = 0.002 / 시간 인 지수분포에 따르는 기기를 10시간 사용할 경우
이 기기가 고장날 확률을 구하라.

$$$ F(t=10)=1-R(t=10)=1-e^{-\lambda t}=1-e^{-0.002\times10 }=1-e^{-0.2}=1-0.98=0.02 $$$

예제 6.3
어떤 부품의 수명이 평균고장률 λ=0.002(/시간)인 지수분포를 따르는 신뢰도를
0.95로 유지하기 위한 사용시간을 구하시오.
\begin{align*}& R(t=10)=e^{-\lambda t}에서 \qquad 0.95=e^{-0.0002\times t} \\& ln 0.95=-0.0002 \times t \\& t = 25.6 \quad 시간 \end{align*}

신뢰성 사양(Reliability Specifications*)

일반적인 신뢰성 사양에는 다음과 같은 적도가 포함됩니다

MTBF (Mean Time Between Failures)

MTBF는 디바이스를 복구 할 수 있으며 완전히 기능이 비슷한 새 상태로 복원 할 수 있음을 의미한다.

평균 고장 시간 (MTTF)

MTTF는 장치가 수리가 가능할 것으로 예상되지 않는다는 점을 제외하면 MTBF와 유사한다.
MTTF와 MTBF 계산의 차이점은 시간이 지남에 따라 필드 장치의 수가 줄어드는 반면
복구 가능한 장치의 기본 수량은 다소 일정한 상태로 유지된다는 것이다.

평균 유지 보수 시간 (MTBM)

종종 매우 중요한 조치는 유지 보수 이벤트 사이의 시간이다.
이것은 군용 응용프로그램에서 확실히 중요한다.

가용성(Availability)

가용성은 특히 서비스 응용 프로그램에서 중요한 또 다른 구성 요소이면서 시스템 특성이다.
구급차, 상업용 항공기, 군용 차량 및 아이템의 준비가 성공적인 기능에 결정적으로 중요한 요구 사항이다.
가용성은 MTBF, MTBM 및 평균 보전 시간의 조합이다.
고객의 구성품 또는 시스템 요구 사항을 정의하는데 때때로 유용한 다른 특수 요구 사항이 있다.
이러한 전문화된 요구 사항의 일부 목록은 다음과 같습니다.

•무 고장 작동기간( Failure-free period Of operation )
무 고장 작동 기간은 장치가 고장 없이 작동 할 시간 또는 사이클 수의 사양이다.
물론 이것은 실제로 고장의 위험이 적다는 것을 의미한다.(예를 들어 0.01 %)
무 고장 기간은 치명적인 의료 기기에 자주 적용된l다.

•서비스 수영( Service life )
서비스 수명은 무 고장 기간과 유사한다.
서비스 수명은 피로와 마모가 주요 고장모드인 교량과 같은 구조물에 자주 적용된다.
서비스 수명은 개별 구성품 고장으로 인해 전제 고장이 발생되지 않는 응용에만 적용된다.

•손상 허용오자( Damage tolerance )
손상 허용 오차는 전체 구조가 손상 없이 손상을 흡수하는 능력을 측정 한 것이다.
손상 내성 설계는 개별 구성품이 전체 장치의 고장 없이 실패 할 수 있도록 하는 설계이다.
손상 허용오자의 또 다른 개념은 구성품 고장이 쉽게 감지 된 후 구조가 오래 작동한다.는 것이다.

•단일 점 고장 없음(NO single point failures)
이 신뢰성 요구 사항은 단일 아이템이나 고장형태(FM)로 인해 시스템이 완전히 고장 나지 않도록 규정한다.
이것은 여러 엔진에 다한 모든 군용 및 상업용 항공기에 대한 오늘날의 요구 사항에 대한 생각이다.

•안전상태에서의 실패(Fail-safe)
안전상태에서의 실패(Fail-Safe)는 신뢰성에 중점을 두고 있지는 않지만 신뢰성 설계 논의 중에
자주 고려되는 요구 사항이다.
Fail-safe는 장지가 안전 상대에서 실패 함을 의미 한다.
예를 들어 케이블이나 구동 모터가 고장 난 경우 엘리베이터가 추락하는 것을 방지하는 장치가
개발 될 때까지 초기 엘리베이터 구조물은 위험했습니다.

•지연 고장(Graceful failure) 지연 고장은 장치가 실패 할 때 일어나는 일과 관련 된다는 점에서 페일 세이프와 유사한다.
지연 고장의 의미는 고객이 고장을 받아 들여야 한다.는 것을 의미한다.
(적어도 고장이 있을 때까지 수용 가능).
예를 들에 사용자가 프로그램을 계속 진행할 수 있도록 해주는 소프트웨어 고장이 지연 고장이다.
컴퓨터를 잠그고(lock-up)전제 재 부팅이 필요하며 상당한 양의 작업이 손실 될 수 있는
소프트웨어 고장은 확실히 지연시키지 않으면 안된다.